Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且8sin²（$\frac{A+B}{2}$）+3cos2C=3．
（1）求cosC；
（2）若B=$\frac{π}{2}$，2$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MC}$，求tan∠ABM．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和二倍角公式求得cosC的值．
（2）設(shè)出BC，則AB，AC，AM，CM可知，利用余弦定理求得BM，進(jìn)而利用正弦定理求得sin∠CBM，則cot∠CBM可求得，最后利用誘導(dǎo)公式求得答案．

解答 解：（1）8sin²（$\frac{A+B}{2}$）+3cos2C=8•$\frac{1-cos（A+B）}{2}$+3cos2C=4-4cos（A+B）+3cos2C=4+4cosC+3cos2C=3，
∴3cos2C+4cosC+1=0，
∴6cos²C+4cosC-2=0，
∴cosC=-1或$\frac{1}{3}$，
故cos=$\frac{1}{3}$．
（2）如圖：B=$\frac{π}{2}$，cosC=$\frac{1}{3}$，
做MN∥BC，交AB于點(diǎn)N，
設(shè)BC=t，則AC=3t，AM=t，CM=2t，AB=2$\sqrt{2}$t，
又由MN∥BC，
則MN=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{t}{3}$，NB=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$t，
tan∠ABM=$\frac{MN}{NB}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．解題過程中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，求得cosC的值是關(guān)鍵．