Question

15．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，M是拋物線上一點．△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓面積為$\frac{9π}{4}$．
 （I）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）點M在x軸的正半軸上，且不與點F重合．動點A在拋物線C上，且不過點O．試問：點M在什么范圍之內(nèi)的時候，∠FAM恒為銳角？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞0對x≥0都成立令f（x）=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞對x≥0都成立，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，
∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑
∵圓面積為$\frac{9π}{4}$，∴圓的半徑為$\frac{3}{2}$，
又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|=$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{2}$
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)A（x，y），M（m，0）（m＞0）
根據(jù)題意：∠MAF為銳角，可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$＞0且m≠1，
∵$\overrightarrow{AM}$=（m-x，-y），$\overrightarrow{AF}$=（1-x，-y），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AF}$=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞0對x≥0都成立
令f（x）=（m-x）（1-x）+y²=x²+（3-m）x+m＞對x≥0都成立
（i）若$\frac{m-3}{2}$≥0，即m≥3時，只要使m-（$\frac{3-m}{2}$）²＞0成立，∴1＜m＜9
∴3≤m＜9．
（ii）若$\frac{m-3}{2}$＜0，即m＜3，只要使m＞0，∴0＜m＜3．
由（i）（ii）得m的取值范圍是0＜m＜9且m≠1．

點評 本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查了拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質(zhì)，同時考查了向量的數(shù)量積，考查了計算能力．