Question

19．已知半圓：x²+y²=1（y≥0），點(diǎn)A（2，0），若正三角形ABC在半圓上運(yùn)動，求點(diǎn)C的軌跡，并求|OC|的取值范圍

Answer 1

分析 根據(jù)圓的參數(shù)方程及其幾何意義，設(shè)B的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ+1，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$），再消去參數(shù)，即可得出點(diǎn)C的軌跡，并求|OC|的取值范圍．

解答 解：根據(jù)圓的參數(shù)方程及其幾何意義，設(shè)B（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，
可以得到$\overrightarrow{AB}$=（cosθ-2，sinθ），由于$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AB}$模相等，且夾角為60°，
所以$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ-1，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$），
因此$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ+1，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$），
因為C（x，y），且θ∈[0，π]，
x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
y=$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$+1]，
則（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1，其中x∈[$\frac{1}{2}$，2]，y∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$+1]，其軌跡為半個圓，
設(shè)圓心為M（1，$\sqrt{3}$），連接OM，顯然，
|OC|_max=|OM|+r=3，最大值在（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
|OC|_min=$\sqrt{3}$，最小值在（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）處取得．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．