已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點P(3,1),其左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且
F1P
F2P
=-6

(1)求橢圓E的方程;
(2)若M,N是直線x=5上的兩個動點,且F1M⊥F2N,圓C是以MN為直徑的圓,其面積為S,求S的最小值以及當S取最小值時圓C的方程.
分析:(1)設左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2的坐標分別為(-c,0),(c,0),代入
F1P
F2P
=-6
求出c,再根據(jù)橢圓的定義求出2a,從而求得橢圓的方程;
(2)設出M,N的坐標分別為(5,m),(5,n),根據(jù)F1M⊥F2N,得到mn=-9,要求以MN為直徑的圓的面積最小,即求MN最小,利用基本不等式即可求得線段MN的最小值,從而求得S的最小值以及當S取最小值時圓C的方程.
解答:解:(1)設點F1,F(xiàn)2的坐標分別為(-c,0),(c,0)(c>0),
F1P
=(3+c,1),
F2P
=(3-c,1)

F1P
F2P
=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6
,可得c=4,
所以2a=|PF1|+|PF2|=
(3+4)2+12
+
(3-4)2+12
=6
2
,
a=3
2
b2=a2-c2=18-16=2
,
所以橢圓E的方程為
x2
18
+
y2
2
=1
.      
(2)設M,N的坐標分別為(5,m),(5,n),
F1M
=(9,m),
F2N
=(1,n)
,又
F1M
F2N
,
可得
F1M
F2N
=9+mn=0
,即mn=-9,
|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2
|m|•|n|
=2
9
=6
,(當且僅當|m|=|n|時取等號)
Smin=π(
6
2
)2=9π
,且當S取最小值時,
有m=3,n=-3或m=-3,n=3,
此時圓C的方程為(x-5)2+y2=9.
點評:此題是個中檔題.考查橢圓的定義和標準方程的求法,以及圓與橢圓的綜合等知識,同時考查了學生創(chuàng)造性分析解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦點為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點是該橢圓的焦點,設P是雙曲線G上異于頂點的任一點,直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長等于8
2
,橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2

(1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關系;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過點B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設切點為M、N.
(1)若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1(0,-b)時,求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a
3
)的離心率e=
1
2
.直線x=t(t>0)與曲線 E交于不同的兩點M,N,以線段MN 為直徑作圓 C,圓心為 C.
 (1)求橢圓E的方程;
 (2)若圓C與y軸相交于不同的兩點A,B,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•佛山二模)已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個交點為F1(-
3
,0)
,而且過點H(
3
,
1
2
)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設橢圓E的上下頂點分別為A1,A2,P是橢圓上異于A1,A2的任一點,直線PA1,PA2分別交x軸于點N,M,若直線OT與過點M,N的圓G相切,切點為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+y2=1
(a>1)的離心率e=
3
2
,直線x=2t(t>0)與橢圓E交于不同的兩點M、N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)當圓C與y軸相切的時候,求t的值;
(Ⅲ)若O為坐標原點,求△OMN面積的最大值.

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