Question

5．設極坐標系的極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸．已知曲線C的極坐標方程為ρ=8sinθ
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$（t為參數）與曲線C交于A，B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=8sinθ，即ρ²=8ρsinθ．利用互化公式可得曲線C的直角坐標方程．
（2）設直線$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$（t為參數）的直角坐標方程為y=x+2．x²+y²=8y，配方為x²+（y-4）²=16，可得圓心C（0，4），半徑r=4．求出圓心C到直線的距離d．可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-9nfeg4p^{2}}$．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=8sinθ，即ρ²=8ρsinθ．
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=8y．
（2）設直線$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$（t為參數）的直角坐標方程為y=x+2．
x²+y²=8y，配方為x²+（y-4）²=16，可得圓心C（0，4），半徑r=4．
∴圓心C到直線的距離d=$\frac{|0-4+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-f949jc9^{2}}$=2$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式公式、直線與圓直角弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．