Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x²+1）對(duì)于x∈R恒成立．
（Ⅰ）求f（1）及f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，定義域?yàn)镈，現(xiàn)給出一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…→x_n=g（x_n-1），若x_n∈D，則運(yùn)算繼續(xù)下去；若x_n∉D，則運(yùn)算停止給出，請(qǐng)你寫出滿足上述條件的集合D={x₁，x₂，x₃，…x_n}．

Answer 1

解：（Ⅰ）由8x≤f（x）≤4（x²+1），令x=1，得8≤f（1）≤8，∴f（1）=8
設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（1）=8及f（-1）=0得?b=4，a+c=4
又ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+4-a≥0對(duì)x∈R恒成立∴，即（a-2）²≤0，
∴a=2，c=2，
故f（x）=2（x+1）²…
（Ⅱ）由，由題意，無意義，
故．…
分析：（I）令x=1，可得f（1）的值，然后根據(jù)f（-1）=0與f（1）的值可求得b以及a與c的等量關(guān)系，最后根據(jù)ax²+bx+c≥8x恒成立，可求出a、b、c的值，從而求出所求；
（II）將x₁代入，可求出x₂，依此類推，當(dāng)x_n∉D，則運(yùn)算停止，從而得到滿足上述條件的集合D={x₁，x₂，x₃，…x_n}．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)求值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．