Question

18．已知x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3=0有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù) f（x）=x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3，根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此圖象關(guān)于 y 軸對稱，則f（0）=0，解得 a=1 或 a=-3．進行驗證即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù) f（x）=x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3，
可得它在 R 上為偶函數(shù)，
因此圖象關(guān)于 y 軸對稱．
因為 f（x）=0 有唯一解，因此這個解一定是 x=0，
即  f（0）=0，即 f（0）=2a+a²-3=（a-1）（a+3）=0．
解得 a=1或a=-3．
①當(dāng) a=1 時，f（x）=x²+2×log₂（x²+2）-2≥0+2log₂2-2=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，
因此關(guān)于x的方程x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3=0有唯一解 x=0．
②當(dāng)a=-3 時，f（x）=${x}^{2}-6lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）+6$，
因為f（0）=0，f（$\sqrt{30}$）=30-6×5+6=6＞0，f（$\sqrt{14}$）=14-6×4+6=-4＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\sqrt{14}$，$\sqrt{30}$）之間有零點．
再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間（-$\sqrt{30}$，-$\sqrt{14}$）之間有零點，
因此 f（x）=0 至少有三個根，不滿足題意，故把 a=-3舍去．
所以，若方程有唯一解，則 a=1．

點評 本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)應(yīng)用，注意排除a=-3，這是解題的難點．