Question

將邊長(zhǎng)為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成四面體ABCD，點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，給出下列三個(gè)命題：
①EF∥AB；
②EF是異面直線AC與BD的公垂線；
③AC垂直于截面BDE．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①作出圖形，可知EF與AB異面，可判斷①；
②利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)易證BE⊥AC，DE⊥AC，EF⊥BD；再利用線面垂直的判定定理可證AC垂直于截面BDE，從而可判斷②
③由②知，AC⊥平面BDE，可判斷③．

解答： 解：將邊長(zhǎng)為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成四面體ABCD，如圖，

對(duì)于①，由圖可知，EF與AB異面，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，AB=BC，DC=DA，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE=E，
∴AC⊥平面BDE，EF?平面BDE，
∴AC⊥EF；
又BE=DE，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，
∴EF⊥BD；
∴EF是異面直線AC與BD的公垂線，故②正確；
對(duì)于③，由②知，AC⊥平面BDE，故③正確；
綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與直線之間的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定，作圖是關(guān)鍵，考查推理、證明的能力，屬于中檔題．