Question

【題目】已知函數(shù)有兩個極值點，其中為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）函數(shù)有兩個極值點，等價于有兩個變號零點，變量分離，構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)簡圖可得其范圍.

（2）先構(gòu)造函數(shù)為和0比較大小 ，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性比較大小.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， .

因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個變號零點，故關(guān)于的方程有兩個不同的解，

令，則，

當(dāng)時，當(dāng)時， ，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，且，

結(jié)合函數(shù)簡圖可知， ，所以.

（2）不妨設(shè)，由（1）可知， ，所以，

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則

所以當(dāng)即時， 即.

又，所以可化為，

即即，

令，則，

令，則，

當(dāng)時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增， .證畢.

點晴:本題考查的是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題和極值點偏移問題.函數(shù)的極值點即導(dǎo)數(shù)方程的變號零點，函數(shù)有兩個極值點可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程有兩個不等根的問題，求導(dǎo)研究函數(shù)的圖象增減即可.極值點偏移即解決兩個問題，在一部分區(qū)間上構(gòu)造函數(shù)和0比，在另外一區(qū)間上利用函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可.