Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對(duì)任意的m，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=

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，求l的傾斜角；
（3）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）由直線系方程求得直線過定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓內(nèi)得結(jié)論；
（2）由弦長及圓的半徑求得弦心距，再由圓心到直線的距離列式求得m的值，則直線l的傾斜角可求；
（3）設(shè)出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由直角三角形中的邊長關(guān)系求得弦AB的中點(diǎn)M的軌跡．

解答： （1）證明：由直線l：mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，
由

x-1=0 -y+1=0

，得

x=1 y=1

．
∴直線l：mx-y+1-m=0過定點(diǎn)P（1，1），代入圓C：x²+（y-1）²=5，
得1²+（1-1）²=1＜5，∴點(diǎn)P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5內(nèi)部，
∴對(duì)任意的m，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，代入圓x²+（y-1）²=5得：y₁=-1，y₂=3，
此時(shí)|AB|=4，不滿足題意；
∴直線l的斜率存在，由|AB|=

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，圓的半徑為

5

，
得圓心到直線l：mx-y+1-m=0的距離為

5- 17 4

=

3

2

．
則

|-m|

m2+1

=

3

2

，解得：m=±

3

．
∴直線l為y=

3

x+1-

3

或y=-

3

x+1+

3

．
直線l的傾斜角為60°或120°；
（3）解：當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²，
設(shè)M（x，y），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化簡(jiǎn)得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1），
當(dāng)M與P重合時(shí)，x=1，y=1也滿足上式；
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，考查了直線系方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的用法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．