設(shè)an=1+q+q2+q3+…+qn-1,An=cn1a1+cn2a2+cn3a3+…+cnnan,且-3<q<1,則
lim
n→∞
An
2n
的值為( 。
分析:利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出an,利用二項(xiàng)式系數(shù)和是2n及二項(xiàng)式定理的逆用,求出An.化簡(jiǎn)
An
2n
,再利用公式
lim
n→∞
qn =0
其中0<|q|<1求出極限值.
解答:解:因?yàn)閝≠1,
所以an=1+q+q2+…+qn-1=
1-qn
1-q

于是An=
1-q
1-q
Cn1+
1-q2
1-q
Cn2+…+
1-qn
1-q
Cnn
=
1
1-q
[(Cn1+Cn2+…+Cnn)-(Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn)]
=
1
1-q
{(2n-1)-[(1+q)n-1]}
=
1
1-q
[2n-(1+q)n].
An
2n
=
1
1-q
[1-(
1+q
2
n].
因?yàn)?3<q<1,且q≠-1,
所以0<|
1+q
2
|<1.
所以
lim
n→∞
An
2n
=
1
1-q
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);二項(xiàng)式定理的逆用;利用特殊的極限值求函數(shù)的極限.
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(1)已知(x
x
+
2
3x
)
n
展開式中前3項(xiàng)系數(shù)的和為129,這個(gè)展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)?如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;如有,請(qǐng)求出來(lái).
(2)設(shè)an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an

①用q和n表示An
②求證:當(dāng)q充分接近于1時(shí),
An
2n
充分接近于
n
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan
(1)用q和n表示An
(2)當(dāng)-3<q<1時(shí),求
lim
n→∞
An
2n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan
(1)用q和n表示An
(2)當(dāng)-3<q<1時(shí),求數(shù)學(xué)公式

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設(shè)an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan
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