【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(1+x)﹣log2(1﹣x),g(x)=log2(1+x)+log2(1﹣x).
(1)判斷函數(shù)f(x)奇偶性并證明;
(2)判斷函數(shù)f(x)單調性并用單調性定義證明;
(3)求函數(shù)g(x)的值域.

【答案】
(1)解:由 ,即﹣1<x<1,即函數(shù)的定義域為(﹣1,1),關于原點對稱

f(﹣x)=﹣f(x)∴f(x)為(﹣1,1)上的奇函數(shù)


(2)解:設﹣1<x1<x2<1,

= ,

又﹣1<x1<x2<1∴(1+x1)(1﹣x2)﹣(1﹣x1)(1+x2)=2(x1﹣x2)<0

即0<(1+x1)(1﹣x2)<(1﹣x1)(1+x2),

,

∴f(x1)<f(x2),

∴f(x)在(﹣1,1)上單調遞增


(3)解:由 ,即﹣1<x<1,即函數(shù)的定義域為(﹣1,1),

則g(x)=log2(1+x)+log2(1﹣x)=g(x)=log2[(1+x)(1﹣x)]=log2(1﹣x2)≤log21=0,

即g(x)的值域為(﹣∞,0]


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f(x)奇偶性并證明;(2)根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可判斷函數(shù)f(x)單調性并用單調性定義證明;(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的關系即可求函數(shù)g(x)的值域.
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點,需要掌握奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性才能正確解答此題.

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分組

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

6

0.08

60.5~70.5

0.16

70.5~80.5

15

80.5~90.5

24

0.32

90.5~100.5

合計

75

1.00


(1)填充頻率分布表的空格;
(2)補全頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)頻率分布直方圖求此次“環(huán)保知識競賽”的平均分為多少?

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