Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性并證明；
（2）判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明；
（3）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得 ，即﹣1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，1），關(guān)于原點(diǎn)對稱

f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）為（﹣1，1）上的奇函數(shù)

（2）解：設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，

則 = ，

又﹣1＜x1＜x2＜1∴（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）=2（x1﹣x2）＜0

即0＜（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），

∴ ，

∴ ，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增

（3）解：由 得 ，即﹣1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，1），

則g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=g（x）=log2[（1+x）（1﹣x）]=log2（1﹣x2）≤log21=0，

即g（x）的值域?yàn)椋ī仭蓿?]

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）奇偶性并證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系即可求函數(shù)g（x）的值域．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．