Question

11．記集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=$\{\frac{a_1}{7}+\frac{a_2}{7^2}+\frac{a_3}{7^3}+\frac{a_4}{7^4}|{a_i}∈T，i=1，2，3，4\}$，將M中的元素按從大到小的順序排成數(shù)列b_i，并將b_i按如下規(guī)則標在平面直角坐標系的格點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）處：點（1，0）處標b₁，點（1，-1）處標b₂，點（0，-1）處標b₃，點（-1，-1）處標b₄，點（-1，0）標b₅，點（-1，1）處標b₆，點（0，1）處標b₇，…，以此類推，則（1）b₅=$\frac{2396}{2401}$；（2）標b₅₀處的格點坐標為（4，2）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將M中的元素按從大到小的順序排成數(shù)列b_i，分子分別為6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，…，可得結論；
（2）由圖形，格點的連線呈周期性過橫軸，研究每一周的格點數(shù)及每一行每一列格點數(shù)的變化，得出規(guī)律即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，將M中的元素按從大到小的順序排成數(shù)列b_i，分子分別為6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，…，故b₅=$\frac{6}{7}+\frac{6}{7^2}+\frac{6}{7^3}+\frac{2}{7^4}$=$\frac{2396}{2401}$；
（2）從橫軸上的點開始點開始計數(shù)，從b₁開始計數(shù)第一周共9個格點，除了四個頂點外每一行第一列各有一個格點，外加一個延伸點第二周從b₁₀開始計，除了四個頂點的四個格點外，每一行每一列有三個格點，外加一個延伸點共17個，拐彎向下到達橫軸前的格點補開始點的上面以補足起始點所在列的個數(shù)，
由此其規(guī)律是后一周是前一周的格點數(shù)加上8×（周數(shù)-1）
令周數(shù)為t，各周的點數(shù)和為S_t=9+8（t-1）=8t+1，每一行（或列）除了端點外的點數(shù)與周數(shù)的關系是b=2t-1
由于S₁=9，S₂=17，S₃=25，S₄=33，由于9+17+25=51，第50個格點應在第三周的倒數(shù)第二個點上，故其坐標為（4，2）．
故答案為：$\frac{2396}{2401}$；（4，2）．

點評 本題考查歸納推理，歸納推理是由特殊到一般的推理，求解本題的關鍵是從特殊數(shù)據(jù)下手，找出規(guī)律，總結出所要的表達式．