【題目】如圖,設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)D在橢圓上,DF1⊥F1F2 =2 ,△DF1F2的面積為 . (Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點(diǎn),且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2﹣b2 , 由 =2 ,得|DF1|= = c,
從而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.
從而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2 , 得 = + =
因此|DF2|= ,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故a= ,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1;
(Ⅱ)設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是兩個交點(diǎn),

y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1 , F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2 , 由圓和橢圓的對稱性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,
由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2 , 得﹣ + =0,
由橢圓方程得1﹣ = ,即3 +4x1=0,解得x1=﹣ 或x1=0.
當(dāng)x1=0時,P1 , P2重合,此時題設(shè)要求的圓不存在;
當(dāng)x1=﹣ 時,過P1 , P2 , 分別與F1P1 , F2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C,設(shè)C(0,y0
由F1P1 , F2P2是圓C的切線,知CP1⊥F1P1 , 得 =﹣1,而|y1|=|x1+1|= ,
故y0= ,
故圓C的半徑|CP1|= =
綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為x2+ =
【解析】(Ⅰ)設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),依題意,可求得c=1,易求得|DF1|= = ,|DF2|= ,從而可得2a=2 ,于是可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是兩個交點(diǎn),依題意,利用圓和橢圓的對稱性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2 , 得x1=﹣ 或x1=0,分類討論即可求得圓心及半徑,從而可得的方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4=14,且a1 , a3 , a7成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和,若Tn≤λan+1n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在亞丁灣海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的中國海軍“徐州”艦,在A處收到某商船在航行中發(fā)出求救信號后,立即測出該商船在方位角方位角(是從某點(diǎn)的指北方向線起,依順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角)為45°、距離A處為10 n mile的C處,并測得該船正沿方位角為105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”艦立即以21 n mile/h的速度航行前去營救.

(1)“徐州”艦最少需要多少時間才能靠近商船?

(2)在營救時間最少的前提下,“徐州”艦應(yīng)按照怎樣的航行方向前進(jìn)?(角度精確到0.1°,時間精確到1min,參考數(shù)據(jù):sin68.2°≈0.9286)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,則f(f(﹣2))= , 若f(x)≥2,則x的取值范圍為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,b= sinB,且滿足tanA+tanC= . (Ⅰ)求角C和邊c的大。
(Ⅱ)求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知在直角坐標(biāo)系中,曲線的方程是,直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角為,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;

(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+x(x﹣a)2(a∈R),若存在 ,使得f(x)>xf'(x)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
A.
B.
C.
D.(3,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2PD=,OACBD的交點(diǎn),E為棱PB上一點(diǎn).

1)證明:平面EAC⊥平面PBD;

2)若PD∥平面EAC,求三棱錐P-EAD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù): ,其中是儀器的月產(chǎn)量.(注:總收益=總成本+利潤)

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù);

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案