Question

3．對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，總有f（x）＜xf′（x），若m＞n＞0，則下列不等式中，恒成立的是（　�。�

• A． $\frac{f（m）}{n}$＜$\frac{f（n）}{m}$
• B． $\frac{f（m）}{m}$＜$\frac{f（n）}{n}$
• C． $\frac{f（m）}{n}$＞$\frac{3f（n）}{m}$
• D． $\frac{f（m）}{m}$＞$\frac{f（n）}{n}$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，總有f（x）＜xf′（x），可判斷函數(shù)單調(diào)性，解決比較大小．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，總有f（x）＜xf′（x），
∴F′（x）＞0，
所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵m＞n＞0，∴F（m）＞F（n），
∴$\frac{f（m）}{m}$＞$\frac{f（n）}{n}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用判斷單調(diào)性，比較大小，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．