Question

為抗擊金融風(fēng)暴，某工貿(mào)系統(tǒng)決定對(duì)所屬企業(yè)給予低息貸款的扶持.該系統(tǒng)先根據(jù)相關(guān)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各個(gè)企業(yè)進(jìn)行了評(píng)估，并依據(jù)評(píng)估得分將這些企業(yè)分別評(píng)定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格4個(gè)等級(jí)，然后根據(jù)評(píng)估等級(jí)分配相應(yīng)的低息貸款金額，其評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)和貸款金額如下表：

評(píng)估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90]
評(píng)定類型	不合格	合格	良好	優(yōu)秀
貸款金額（萬元）	0	200	400	800

為了更好地掌控貸款總額，該系統(tǒng)隨機(jī)抽查了所屬部分企業(yè)的評(píng)估分?jǐn)?shù)，得其頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）估計(jì)該系統(tǒng)所屬企業(yè)評(píng)估得分的中位數(shù)；
（Ⅱ）該系統(tǒng)要求各企業(yè)對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行整改，若整改后優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量依次成等差數(shù)列，系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值(即數(shù)學(xué)期望)不低于410萬元，那么整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是多少？

Answer 1

（Ⅰ）68.75
（Ⅱ）10%

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124925543424.gif" style="vertical-align:middle;" />，，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，所以中位數(shù)在區(qū)間[60，70）內(nèi)。                               （2分）
設(shè)中位數(shù)為x，則，解得x＝8.75。                             （4分）
估計(jì)該系統(tǒng)所屬企業(yè)評(píng)估得分的中位數(shù)是68.75。                               （5分）
（Ⅱ）據(jù)題意，整改后優(yōu)秀企業(yè)的頻率為10×0.025＝0.25，不合格企業(yè)，合格企業(yè)，良好企業(yè)的頻率成等差數(shù)列。                                                          （6分）
設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為d，則3a＋3d＝1－0.25＝0.75，即a＋d＝0.25。   （8分）
設(shè)該系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值為Eξ，則
Eξ＝a×0＋(a＋d)×200＋(a＋2d)×400＋0.25×800
＝0.25×200＋(0.25＋d)×400＋0.25×800＝400d＋350＝450－400a。           （10分）
由Eξ≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1。                                （11分）
故整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是10%。                     （12分）