Question

對(duì)于定義域和值域均為[0，1]的函數(shù)f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．滿足f_n（x）=x的點(diǎn)x∈[0，1]稱為f的n階周期點(diǎn)．設(shè)f（x）=，則f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2n
B．2（2n-1）
C．2ⁿ
D．2n²

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，方法是根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解答：解：當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f₁（x）=2x=x，解得x=0
當(dāng)x∈（ ，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x=x，解得x=
∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2
當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0
當(dāng)x∈（ ，]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=
當(dāng)x∈（ ，]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=
當(dāng)x∈（ ，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=
∴f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2²
依此類推
∴f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2ⁿ
故選C．
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題．