【題目】已知函數(shù)，．

（1）求在點(diǎn)處的切線；

（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值；

（3）求證：．

【答案】（1）； （2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；極小值為，無(wú)極大值. （3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)得，，切線方程為. （2）由，得，令得增區(qū)間，研究單調(diào)性和極值.

（3）欲證，即證明，即證：，令，，研究的單調(diào)性，證明；

研究的單調(diào)性，證明，

兩式相加解得結(jié)果.

解：（1）的定義域?yàn)?/span>，對(duì)求導(dǎo)得，

所以，又，

所以在點(diǎn)處的切線方程為．

（2）由，得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

的極小值為，無(wú)極大值．

（3）令，，則

，，且當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

即①

所以在單調(diào)遞增，所以，

即②

所以①+②得，所以恒成立．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)求證：；

(2)用表示中的最大值，記，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知點(diǎn)S為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，△SBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E為線段SB的中點(diǎn)．

（1）證明：SD//平面AEC；

（2）若側(cè)面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)為其左頂點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，.

（1）求該橢圓的方程；

（2）設(shè)直線，分別交直線于點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線與的斜率分別為，，且，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）設(shè)函數(shù)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)點(diǎn)xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝6.

（1）A為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且滿(mǎn)足|OM||OA|＝36，求點(diǎn)M的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)E的極坐標(biāo)為（4，），點(diǎn)F在曲線C2上，求△OEF面積的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)分別為橢圓C的左右頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點(diǎn)M,N.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說(shuō)明有幾條，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，將曲線繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到曲線的曲線記為.

（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)和的交點(diǎn)為，，求的長(zhǎng)度.

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