Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx．
（1）當(dāng)b=a-1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．求b的取值范圍；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為函數(shù)f（x）的圖象上的兩點(diǎn)，記k為直線AB的斜率，x₀=

x1+x2

2

．求證f′（x₀）＜k．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)b=a-1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求b的取值范圍；
（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)直線的斜率公式，即可證明不等式．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax+a-1=

-ax2+(a-1)+1

x

=-

(ax+1)(x-1)

x

…（2分）
當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閍x+1＞0，故函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減…（3分）
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）上遞增，在（1，-

1

a

）上遞減…（4分）
當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）上遞增，在（-

1

a

，1）上遞減…（6分）
（2）當(dāng)a=0，f（x）=lnx+bx，令g（x）=lnx，h（x）=-bx，
要使得f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即使得g（x）和h（x）圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖）…（6分）
容易求得g（x）和h（x）的切點(diǎn)為（e，1），所以0＜-b＜

1

e

，即-＜

1

e

＜b＜0．（8分）
（3）因?yàn)閒′（x）=

1

x

-ax+b，
所以f′（x₀）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+b…（9分）
k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1- 1 2 a(x2+x1)(x2-x1)+b(x2-x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₂+x₁）+b  …（10分）
要證f′（x₀）＜k，即證

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，要證

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，
即證ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

…（11分）
令t=

x2

x1

，（t＞1），即證lnt＞

2(t-1)

t+1

，
令h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)

＞0…（12分）
所以h（t）＞h（1）=0，即lnt＞

2(t-1)

t+1

，（t＞1）（13分）
所以

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，
即f′（x₀）＜k…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查考生的應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．