Question

13．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=1-$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（2）y=x+$\frac{1}{x}$+1．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)表達(dá)式變形為y=2-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，從而求出函數(shù)的值域；（2）通過討論x的范圍，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，從而求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=1-$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=2-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
x=0時，y最小，最小值是0，x→∞時，y→2，
∴函數(shù)的值域是[0，2）；
（2）x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時“=”成立，∴y≥3；
x＜0時，x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時“=”成立，∴y≤-3；
綜上：函數(shù)的值域是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的值域問題，考查不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．