Question

設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足c≥b≥a＞0，且a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

，求證：ab²c³≥1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先運(yùn)用放縮法，由于實(shí)數(shù)a、b、c滿足c≥b≥a＞0，則

1

a

≥

1

b

，

1

a

≥

1

c

，得到ab²c³=a²b²c²•

c

a

≥

1

3

a²b²c²•
（

a

a

+

b

a

+

c

a

），再由等式得到≥

1

9

a²b²c²•（

1

a

+

1

b

+

1

c

）²=

1

9

（bc+ac+ab）²，再用均值不等式得到（a+b+c）²≥9，即a+b+c≥3，又abc≥1，即可得證．

解答： 證明：由于實(shí)數(shù)a、b、c滿足c≥b≥a＞0，
則

1

a

≥

1

b

，

1

a

≥

1

c

，
則ab²c³=a²b²c²•

c

a

≥

1

3

a²b²c²•（

a

a

+

b

a

+

c

a

）
由于a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

，則

a

a

+

b

a

+

c

a

=（a+b+c）•

3

3a

≥

1

3

（

1

a

+

1

b

+

1

c

）（

1

a

+

1

b

+

1

c

），
則有

1

3

a²b²c²•（

a

a

+

b

a

+

c

a

）≥

1

9

a²b²c²•（

1

a

+

1

b

+

1

c

）²
=

1

9

（bc+ac+ab）²，
由于a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

，即有abc（a+b+c）=ab+bc+ca，
由于（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥3

3	abc

•3

3	1 abc

=9，
即有（a+b+c）²≥9，即a+b+c≥3，
又abc≥1，
則abc（a+b+c）=ab+bc+ca≥3，
則有

1

9

（bc+ac+ab）²≥1，
故有ab²c³≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查運(yùn)用放縮法和均值不等式證明不等式的方法，具有一定的技巧性，屬于難題．