Question

15．設(shè)正數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-2}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}}$=2a_n-1（n≥3），求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 由已知可得$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$-1=2$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$，構(gòu)造等比數(shù)列{$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$+1}并求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用累乘法，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-2}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}}$=2a_n-1（n≥3），
∴$\sqrt{\frac{{a}_{n}•{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}}$-$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}}$=2$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}}$，
即$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$-1=2$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$，
即$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$+1=2（$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$+1），
又∵a₁=a₂=1，
故$\sqrt{\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}}$+1=2，
即數(shù)列{$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
故$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$+1=2ⁿ，
故$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=2ⁿ-1，
∴$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$=2^n-1-1，
$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$=2^n-2-1，
…
$\sqrt{\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}}$=2²-1，
$\sqrt{\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}}$=2-1，
累乘得：$\sqrt{{a}_{n}}$=（2^n-1-1）•（2^n-2-1）•…•（2²-1）•（2-1）．
故a_n=[（2^n-1-1）•（2^n-2-1）•…•（2²-1）•（2-1）]²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，難度較大．