【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(2x+1)﹣ .
(1)證明:對任意的b∈R,函數(shù)f(x)=log2(2x+1)﹣ 的圖象與直線y= +b最多有一個交點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=log4(a﹣2x),若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象至少有一個交點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:原問題等價于log2(2x+1)﹣ = +b解的討論.
因為2x+1=2x+b,即2x(2b﹣1)=1.
當(dāng)b≤0時,方程無解,即兩圖象無交點(diǎn);
當(dāng)b>0時,方程有一解,即兩圖象有一個交點(diǎn),得證
(2)解:函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象至少有一個交點(diǎn),
等價于方程log2(2x+1)﹣ =log4(a﹣2x)至少有一個解,
即(2x+1)2=2x(a﹣2x).
設(shè)u=2x>0,即方程2u2+(2﹣a)u+1=0至少有一個正解.
①當(dāng)△=(2﹣a)2﹣8=0時,即a=2±2 ,
∵a>2x>0,
∴a=2﹣2 不符合題意,
當(dāng)a=2+2 時,方程有一個正解,符合題意.
②當(dāng) 時,即a>2+2 ,此時方程有兩個不同的正解.
綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是[2+2 ,+∞)
【解析】(1)問題等價于log2(2x+1)﹣ = +b解的討論,通過討論b的范圍,證明即可;(2)等價于方程log2(2x+1)﹣ =log4(a﹣2x)至少有一個解,即(2x+1)2=2x(a﹣2x),通過討論判別式△,求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本,需要知道復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”.
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【題目】(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在兩條直線,都是曲線的切線,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,求實數(shù)的取值范圍.
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(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn .
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【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,按其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組后得到如右部分頻率分布直方圖,觀察圖中的信息,
回答下列問題:
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖;并估計本次考試的數(shù)學(xué)平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生成績中抽取一個容量為6的樣本,再從這6個樣本中任取2人成績,求至多有1人成績在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.
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【題目】設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是( )
A.
B.
C.
D.
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