Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-xa（常數(shù)a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求證函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]²成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2^x-2^-x=4，設(shè)2^x=t，
則有t-t^-1=4，即t²-4t-1=0，解得（2分）
當時，有，可得．
當時，有，此方程無解．
故所求x的值為．（4分）
（2）設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，
則
=
=（7分）
由x₁＞x₂，可得，即
由x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＞x₂，可得x₁+x₂＞2，
故，
又a≤4，故，即
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．（10分）
（3）因為函數(shù)f（x）=2^x+2^-xa，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]²?2^2x+2^-2x＞2^2x+2a+2^-2xa²?2^-2x（a²-a）+2a＜0（12分）
設(shè)t=2^-2x，由x∈[0，1]，可得，
由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]²，
可得存在，使得（a²-a）t+2a＜0，（14分）
令g（t）=（a²-a）t+2a＜0，
故有或g（1）=（a²-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范圍是（-7，0）．（16分）
分析：（1）將a=-1代入，f（x）=4可得到一個關(guān)于x的指數(shù)方程，利用換元法可將方程轉(zhuǎn)化為一個二次方程，解方程即可求出答案．
（2）利用定義法（作差法），我們分別取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，然后作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，然后根據(jù)單調(diào)性的定義，即可判斷出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由于f（2x）＞[f（x）]²?2^-2x（a²-a）+2a＜0，利用換元法，我們可將不等式進一步轉(zhuǎn)化為：存在，使得（a²-a）t+2a＜0，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)g（t）=（a²-a）t+2a，我們可得到g（）＜0或g（1）＜0，解關(guān)于a的不等式即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，其中在解決復(fù)雜的指數(shù)方程或不等式進，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其它我們熟悉的函數(shù)問題是解答此類問題常用的辦法．