Question

13．設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2x}-2x，0＜x≤1}\\{{x}^{2}-2x-\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+a，則當(dāng)實(shí)數(shù)a滿足2＜a＜$\frac{5}{2}$時(shí)，函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=-（$\frac{1}{2x}$+2x），分析可知g（x）=f（x）+a有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＞1時(shí)，令x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0可判斷函數(shù)y=g（x）有1個(gè)零點(diǎn)；從而確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，
f（x）=-（$\frac{1}{2x}$+2x）；
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，f（x）≤-2；
f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，-$\frac{5}{2}$≤f（x）＜-2；
故當(dāng)2＜a＜$\frac{5}{2}$時(shí)，g（x）=f（x）+a有2個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)x＞1時(shí)，令g（x）=f（x）+a=0得，
x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0，
△=4+4（$\frac{3}{2}$-a）=4（$\frac{5}{2}$-a）＞0；
故方程x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0有兩個(gè)不同的根；
而對(duì)稱軸為x=1；
故函數(shù)y=g（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．