Question

9．設f（1）=2，f（n）＞0（n∈N₊），且f（n₁+n₂）=f（n₁）f（n₂）
（1）求f（2），f（3），f（4）；   
（2）猜想f（n）的解析式；   
（3）證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知條件求出f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）利用（1）猜想f（n）的解析式；
（3）然后利用數(shù)學歸納法的證明方法證明即可

解答 解：（1）f（1）=2，f（n₁+n₂）=f（n₁）•f（n₂）
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=2²=4；
f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=2²•2=8；
f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=2³•2=16；
（2）猜想f（n）=2ⁿ，n∈N^*
（3）用數(shù)學歸納法證明如下：
①當n=1時，f（1）=2¹=2，∴猜想正確；
②假設當n=k（k≥1）時猜想正確，即f（k）=2^k，k∈N^*
那么當n=k+1時，f（k+1）=f（k）f（1）=2^k•2=2^k+1
所以，當n=k+1時，猜想正確
由①②知，對n∈N^*，f（n）=2ⁿ，正確．

點評 本題考查數(shù)學歸納法的證明方法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．