Question

6．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．求證：DE²=DA•DB．

Answer 1

分析 欲證DE²=DB•DA，由于由切割線定理得DF²=DB•DA，故只須證：DF=DE，也就是要證：∠CFD=∠DEF，這個等式利用垂直關(guān)系通過互余角的轉(zhuǎn)換即得．

解答 證明：連接OF．
因為DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因為OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因為CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因為DF是⊙O的切線，所以DF²=DB•DA．
所以DE²=DB•DA．（10分）

點評 本題考查的與圓有關(guān)的比例線段、切線的性質(zhì)、切割線定理的運用．屬于基礎(chǔ)題