Question

12．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$ 滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|且3$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow$²，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的模相等得到，得到向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$ 垂直，利用數(shù)量積的定義可求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角的余弦值．

解答 解：因為|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²，得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，又3$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow$²，所以$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}|$=|$\overrightarrow$|，|
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}}}$=$-\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{2π}{3}$；
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積、模的運算；關(guān)鍵是由已知等式得到兩個向量垂直．