Question

如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點，P為以點A為圓心，以AB為半徑的圓弧上一點，若

AC

=x

DE

+y

AP

（xy≠0），則以下說法正確的是：

 

  （請將所有正確的命題序號填上）
①若點E和A重合，點P和B重合，則x=-1，y=1；
②若點E是線段AB的中點，則點P是圓弧

DB

的中點；
③若點E和B重合，且點P為靠近D點的圓弧的三等分點，則x+y=3；
④若點E與B重合，點P為

DB

上任一點，則動點（x，y）的軌跡為雙曲線的一部分．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：數形結合,轉化思想,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系，設正方形ABCD的邊長為1，
①，若點E和A重合，點P和B重合，可求得E、P的坐標及向量

DE

=（0，-1），

AP

=（1，0），利用

AC

=x

DE

+y

AP

（xy≠0）及向量的坐標運算可求得x=-1，y=1，從而可判斷①；
②，若點E是線段AB的中點，點P是圓弧

DB

的中點，同理可求得

1 2 x+ 2 2 y=1 -x+ 2 2 y=1

，此方程組無解，從而可判斷②；
③，若點E和B重合，且點P為靠近D點的圓弧的三等分點，可求得x+y=

3

，可判斷③；
④，若點E與B重合，點P（a，b）為

DB

上任一點，

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（1，-1）+y（a，b），利用a²+b²=1可得：

(1-x)2

y2

+

(1+x)2

y2

=1，整理得：

y2

2

-x²=1，
從而可判斷④．

解答： 解：以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系，設正方形ABCD的邊長為1，如圖，
則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），

AC

=（1，1）．
因為

AC

=x

DE

+y

AP

（xy≠0），
所以，對于①，若點E和A重合，點P和B重合，則E（0，0），P（1，0），

DE

=（0，-1），

AP

=（1，0），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（0，-1）+y（1，0），即

y=1 x=-1

，故①正確；
則x=-1，y=1；
對于②，若點E是線段AB的中點，則E（

1

2

，0），

DE

=（

1

2

，-1）；若點P是圓弧

DB

的中點，則P（cos45°，sin45°），即P（

2

2

，

2

2

），

AP

=（

2

2

，

2

2

），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（

1

2

，-1）+y（

2

2

，

2

2

），即

1 2 x+ 2 2 y=1 -x+ 2 2 y=1

，此方程組無解，
故②錯誤；
對于③，若點E和B重合，則E（1，0），

DE

=（1，-1）；又點P為靠近D點的圓弧的三等分點，則P（cos60°，sin60°），
即P（

1

2

，

3

2

），

AP

=（

1

2

，

3

2

），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（1，-1）+y（

1

2

，

3

2

），即

x+ 1 2 y=1 -x+ 3 2 y=1

，解得

x=2- 3 y=2 3 -2

，
則x+y=

3

，故③錯誤；
對于④，若點E與B重合，則E（1，0），

DE

=（1，-1）；
又點P（a，b）為

DB

上任一點，則

AP

=（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a²+b²=1），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（1，-1）+y（a，b），
即

x+ya=1 -x+yb=1

，由a²+b²=1得：

(1-x)2

y2

+

(1+x)2

y2

=1，整理得：

y2

2

-x²=1，則動點（x，y）的軌跡為雙曲線的一部分，故④正確．
綜上所述，說法正確的是①④，
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查向量的數量積的坐標運算，考查等價轉化思想、方程思想與運算求解能力、作圖能力，屬于難題．