在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AB，M是AB的中點．

(Ⅰ)求證：CM⊥EM；

(Ⅱ)求CM與平面CDE所成的角．

答案：
解析：

　　方法一：

　　(Ⅰ)證明：因為，是的中點，

　　所以．

　　又平面，

　　所以．

　　(Ⅱ)解：過點作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點，連結(jié)，．

　　是直線和平面所成的角．

　　因為平面，

　　所以，

　　又因為平面，

　　所以，

　　則平面，因此．

　　設(shè)，，

　　在直角梯形中，

　　，是的中點，

　　所以，，，

　　得是直角三角形，其中，

　　所以．

　　在中，，

　　所以，

　　故與平面所成的角是．

　　方法二：

　　如圖，以點為坐標(biāo)原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．

　　(Ⅰ)證明：因為，，

　　所以，

　　故．

　　(Ⅱ)解：設(shè)向量與平面垂直，則，，

　　即，．

　　因為，，

　　所以，，

　　即，

　　，

　　直線與平面所成的角是與夾角的余角，

　　所以，

　　因此直線與平面所成的角是．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABGF；
（Ⅱ）求二面角G-CE-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，平行四邊形ABCD的頂點都在以AC為直徑的圓O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=
2
a，DP∥AM，且AM=
1
2
DP，E，F(xiàn)分別為BP，CP的中點．
（I）證明：EF∥平面ADP；
（II）求三棱錐M-ABP的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•朝陽區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，BC=
13
，且M是BD的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一點P，使得∠CPD最大？若存在，請求出∠CPD的正切值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點． 
（1）求證：CM⊥平面ABDE；
（2）求幾何體的體積．

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