Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且S_n=

(an+1)2

4

，b_n=

1

(n+1)n

，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）求證：（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

；
（Ⅲ）求證：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出4a_n=a_n²-an-12+2a_n-2a_n-1，從而得到{a_n}是首項為1公差為2的等差數(shù)列，由此求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）欲證明（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

，即證(1+

1

n

)n≥2，由二項式定理能證明（1+

1

n

）ⁿ≥2，由此能證明（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_nb_n≤

1

nn-1

-

1

(n+1)n

，由此能證明a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

解答： （Ⅰ）解：∵正項數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且S_n=

(an+1)2

4

，
∴a1=

(a1+1)2

4

，解得a₁=1．
4S_n=（a_n+1）²，a≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
兩式相減，得：4a_n=a_n²-an-12+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，∴{a_n}是首項為1公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）證明：欲證明（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

，即證

2n

(n+1)n

≤

1

nn-1

，
即證2nⁿ≤（n+1）ⁿ，即證(1+

1

n

)n≥2，
∵（1+

1

n

）ⁿ=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

(

1

n

)2+…+

C

n n

(

1

n

)n
≥1+

C

1 n

•

1

n

=1+n•

1

n

=2，
∴（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知a_nb_n≤

1

nn-1

-

bn

nn-1

≤

1

nn-1

-

1

(n+1)n

，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
≤（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

32

）+（

1

32

-

1

43

）+…+（

1

nn-1

-

1

(n+1)n

）
=1-

1

(n+1)n

＜1．
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項式定理和裂項求和法的合理運用．