Question

如圖，直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，P、O分別是上、下底面的中心，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB=kAA₁．
（Ⅰ）求證：A₁E∥平面PBC：
（Ⅱ）當(dāng)k=

2

時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值：
（Ⅲ）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的法向量，根據(jù)

A1E

•n=0，判斷線面平行．
（Ⅱ）利用向量的夾角公式直接求得直線PA與平面PBC所成角的余弦值，然后根據(jù)平方關(guān)系求得正弦值．
（Ⅲ）表示出重心G的坐標(biāo)，利用射影定理求得k．

解答：
解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，直線OA，OB，OP所在直線為x，y和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2

2

，
則A₁（2，0，

2 2

K

），E（1，1，0）、P（0，0，

2 2

k

），B₁（0，2，0），C（-2，0，0），
（Ⅰ）由上得

A1E

=（-1，-1，

2 2

k

），

BC

=（-2，-2，0）

PB

=（0，2，-

2 2

k

），
設(shè)平面PBC的法向量為n=（1，α，β），
則由

n • BC =0 n • PB =0

，得

-2-2α=0 2α- 7 2 k β=0

，
∴n=（1，-1，-

2

2

k）．
∵

A1E

•n=0，A₁E?平面PBC，
∴A₁E∥平面PBC．
（?）當(dāng)k=

2

時(shí)，由Ⅰ知平面PBC的法向量為n=（1，-1，-1），
cos＜

PA

，n＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

．
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

6

3

．
（Ⅲ）△PBC重心G（-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

），
則

OG

=（-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

），
GO在平面PBC的射影恰為△PBC的重心，
則

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k=

2

，
故k=

2

時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰為△PBC的重心．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定，法向量在立體幾何中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析和推理能力．