Question

如圖，設(shè)拋物線C：y=x²的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn)．則△APB的重心G的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：欲求軌跡方程，可尋找被動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）與主動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)（x₀，y₀）之間的關(guān)系，并用x，y表示x₀，y₀，再代入曲線C₀的方程即可；此法為“參數(shù)法”的一種，借助M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系及曲線C₀的方程消去兩個(gè)參數(shù)x₀，y₀．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x₀，x₀²）和（x₁，x₁²）（x₁≠x₀），
∵y′=2x，∴兩切線斜率分別為：2x₀和2x₁，
于是：切線AP的方程為：2x₀x-y-x₀²=0
切線BP的方程為：2x₁x-y-x₁²=0
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：x_P=

x0+x1

2

，y_P=x₀x₁
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為x_G=

x0+x1+xP

3

=x_P，
y_G=

y0+y1+yP

3

=

x 2 0 + x 2 1 + x0x1

3

=

(x0+x1) 2-x0x1

3

=

4 x 2 P -yP

3

∴y_P=-3y_G+4x_G²，結(jié)合x_P=x_G代入點(diǎn)P所在直線方程，得到重心G的軌跡方程為：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=

1

3

（4x²-x+2）．

點(diǎn)評：本題求軌跡的方法稱為“代入法”，問題的基本結(jié)構(gòu)是：動(dòng)點(diǎn)N在已知曲線C₀上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M隨之移動(dòng)（伴隨點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．其求解可多參考本題分析中的一般解法．