Question

已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，，，求數(shù)列c_n的前n項和為T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將點代入到曲線方程中，得到a_n和S_n的關(guān)系式，再由a_n=S_n-S_n-1，能夠得到a_n的通項公式．
（Ⅱ）由，a_n=2n-1，知b_n+1=2b_n-1，b_n+1-1=2（b_n-1），即，從而能得到===，進而得到T_n．
解答：解：（Ⅰ）因為（a_n+1）²=4S_n，所以，
所以
即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n，所以2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
因為a_n+1+a_n≠0，所以a_n+1-a_n=2，
即數(shù)列{a_n}為公差等于2的等差數(shù)列
則（a₁+1）²=4a₁，解得a₁=1，所以a_n=2n-1
（Ⅱ）因為，a_n=2n-1，所以b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1），即
所以數(shù)列{b_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列
又b₁=3，所以b₁-1=2
故b_n-1=2•2^n-1，即b_n=2ⁿ+1
所以===，
=
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和數(shù)列前n項和的計算．在對已知a_n和S_n的關(guān)系式中，往往都是利用迭代的方法，a_n=S_n-S_n-1．在數(shù)列求和時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．