Question

已知函數(shù)f（x）=

3-ax

a-1

（a≠1）．若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f′（x）=

-a

2(a-1) 3-ax

，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)便得到f′（x）＜0，這樣可求得a的一個范圍，再根據(jù)3-ax≥0在（0，1]上恒成立可得到a≤3，所以和前一個a的范圍求交集即可得到a的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=

-a

2(a-1) 3-ax

；
若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則f′（x）＜0；
即

-a

a-1

＜0，解得a＜0，或a＞1；
又3-ax≥0，即a≤

3

x

，在（0，1]上恒成立，

3

x

在（0，1]上的最小值是3，∴a≤3；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，3]．
故答案為：（-∞，0）∪（1，3]．

點(diǎn)評：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，解分式不等式，不要漏了a還需滿足3-ax≥0在（0，1]上恒成立．