Question

2．為保證APEC會(huì)議期間空氣質(zhì)量，城市環(huán)保局加強(qiáng)了對(duì)各個(gè)地區(qū)空氣質(zhì)量的監(jiān)督力度．環(huán)保局在某工廠附近小區(qū)新設(shè)置了一臺(tái)儀器用以隨時(shí)監(jiān)測(cè)“PM2.5”的值，儀器有三個(gè)重要的元件，若元件損壞則會(huì)引起儀器故障，已知A，B，C三個(gè)元器件損壞的概率分別為：0.1，0.2，0.3，三個(gè)元器件是否損壞互不影響，當(dāng)A，B，C三個(gè)元器件中有一個(gè)損壞時(shí)，儀器發(fā)生故障的概率為0.1，有兩個(gè)損壞時(shí)，儀器發(fā)生故障的概率為0.5，有三個(gè)損壞時(shí)，儀器發(fā)生故障的概率為0.9．
（Ⅰ）設(shè)X表示A，B，C三個(gè)元器件正常的個(gè)數(shù)，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）求儀器發(fā)生故障的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（Ⅱ）由相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出儀器發(fā)生故障的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=0.1×0.2×0.3=0.006．
P（X=1）=0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7=0.092，
P（X=2）=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.398，
P（X=3）=0.9×0.8×0.7=0.504．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.006	0.092	0.398	0.504

EX=0×0.006+1×0.092+2×0.398+3×0.504=2.4．
（Ⅱ）儀器發(fā)生故障的概率：
p=0.006×0.9+0.092×0.5+0.0398×0.1=0.0912．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．