Question

【題目】已知M是橢圓C：+=1(a>b>0)上一點(diǎn)，F1F2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且|F1F2|=2，∠F1MF2=，△F1MF2的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過橢圓C右焦點(diǎn)F2，交該橢圓于AB兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為Q，射線OQ交橢圓于P，記△AOQ的面積為S1，△BPQ的面積為S2，若，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）+=1；（2）.

【解析】

（1）根據(jù) |F1F2|=2，得到c=1，設(shè)根據(jù)∠F1MF2=，△F1MF2的面積為，，得到，然后在中，由余弦定理結(jié)合橢圓的定義解得 ，求得即可.

（2）根據(jù)，由，得到，從而，當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，，不合題意，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，兩式作差得到，故設(shè)直線OP的方程為：，分別聯(lián)立橢圓方程和直線AB的方程，求得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，由求解.

（1）因?yàn)?/span> |F1F2|=2，

所以c=1，設(shè)

，

因?yàn)椤?/span>F1MF2=，△F1MF2的面積為，

所以，

所以，

在中，由余弦定理得：，

即，

解得，

所以，

所以橢圓C的方程是+=1.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

所以，

當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，，不合題意，

當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

設(shè)點(diǎn)，

則，

兩式作差得：，即，

故直線OP的方程為：，

聯(lián)立，解得，

聯(lián)立，解得，

因?yàn)?/span>，

所以，

即，

解得：，

所以直線AB的方程為.