Question

7．四個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4四個(gè)盒子中，依下列條件各有多少種放法．
（1）四個(gè)小球不同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著；
（2）四個(gè)小球相同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著；
（3）四個(gè)小球不同，允許有空盒；
（4）四個(gè)小球相同，允許有空盒．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：1、從4個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子當(dāng)作空盒，2、再向其余3個(gè)盒子裝球，需要先將小球分成2、1、1的三組，再對(duì)應(yīng)3個(gè)盒子；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：1、從4個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子當(dāng)作空盒，2、再向其余3個(gè)盒子裝球，只要選一個(gè)盒子裝2個(gè)球，另外的2個(gè)盒子一定是每個(gè)裝一個(gè)球，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，每個(gè)小球可以放進(jìn)任意的一個(gè)盒子里，即每個(gè)小球有4種放法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（4）根據(jù)題意，分4種情況討論：①、4個(gè)盒子中沒有1個(gè)空盒，即每個(gè)盒子放1個(gè)小球，②、4個(gè)盒子中有1個(gè)空盒，即4個(gè)盒子中有1個(gè)放了2個(gè)小球，有2個(gè)放了1個(gè)小球，有1個(gè)空盒，③、4個(gè)盒子中有2個(gè)空盒，再分2種情況討論：a、4個(gè)盒子中有1個(gè)放了3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，其余2個(gè)均是空盒，b、4個(gè)盒子中有2個(gè)放了2個(gè)小球，其余2個(gè)均是空盒，④、4個(gè)盒子中有3個(gè)空盒，即4個(gè)盒子中有1個(gè)放了4個(gè)小球，其余3個(gè)均是空盒，分別求出每種情況下的小球放法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
1，從4個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子當(dāng)作空盒，有$C_4^1$=4種選法，
2，再向其余3個(gè)盒子裝球，由題意，3個(gè)盒子分別裝2，1，1個(gè)球，
先將球分為2、1、1的三組，有$\frac{{C}_{4}^{2}×{C}_{2}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$種分法，再將三組對(duì)應(yīng)三個(gè)小盒，有A₃³種情況，
因此裝球的裝法為$\frac{C_4^2×C_2^1×C_1^1}{A_2^2}×A_3^3$=36，所以總方法數(shù)為4×36=144種．
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
1，從4個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子當(dāng)作空盒，有$C_4^1$種選法，
2，再將其余3個(gè)盒子裝球，
由題意，3個(gè)盒子分別裝2，1，1個(gè)球，只要選一個(gè)盒子裝2個(gè)球，另外的2個(gè)盒子一定是每個(gè)裝一個(gè)球，有$C_3^1$種選法，
所以，總方法數(shù)為$C_4^1×C_3^1$=12種．
（3）根據(jù)題意，每個(gè)小球可以放進(jìn)任意的一個(gè)盒子里，即每個(gè)小球有4種放法，
則4個(gè)不同的小球有4×4×4×4=4⁴=256種不同的放法；
（4）根據(jù)題意，分4種情況討論：
①、4個(gè)盒子中沒有1個(gè)空盒，即每個(gè)盒子放1個(gè)小球，有1種放法，
②、4個(gè)盒子中有1個(gè)空盒，即4個(gè)盒子中有1個(gè)放了2個(gè)小球，有2個(gè)放了1個(gè)小球，有1個(gè)空盒，有$C_4^1×C_3^1$=12種放法，
③、4個(gè)盒子中有2個(gè)空盒，
再分2種情況討論：如果4個(gè)盒子中有1個(gè)放了3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，其余2個(gè)均是空盒，有A₄²=12種放法，
如果4個(gè)盒子中有2個(gè)放了2個(gè)小球，其余2個(gè)均是空盒，有C₄²=6種放法，
則4個(gè)盒子中有2個(gè)空盒的放法有12+6=18種，
④、4個(gè)盒子中有3個(gè)空盒，即4個(gè)盒子中有1個(gè)放了4個(gè)小球，其余3個(gè)均是空盒，有$C_4^1$=4種放法，
則四個(gè)小球相同，允許有空盒的放法有1+12+18+4=35種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用，解題是要特別注意小球相同與不相同的區(qū)別．