Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2，且a_n+1=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N⁺），記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則S_n=4•$（\frac{3}{2}）^{n}$-4，a_n=2•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 通過a_n+1=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n）與a_n+2=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n+1）作差、整理可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$，進而可知數(shù)列{a_n}是以2為首項、$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n），
∴a_n+2=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n+1），
兩式相減得：a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$，
又∵a₂=$\frac{1}{2}$a₁滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項、$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=a₁•q^n-1=2•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
S_n=$\frac{2[1-（\frac{3}{2}）^{n}]}{1-\frac{3}{2}}$=4•$（\frac{3}{2}）^{n}$-4，
故答案為：4•$（\frac{3}{2}）^{n}$-4，2•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．