【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn) ,圓F2:x2+y2﹣2 x﹣13=0,以動(dòng)點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)F1 , 且圓P與圓F2內(nèi)切.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若直線l過點(diǎn)(1,0),且與曲線E交于A,B兩點(diǎn),則在x軸上是否存在一點(diǎn)D(t,0)(t≠0),使得x軸平分∠ADB?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:圓F2:x2+y2﹣2 x﹣13=0化為

故F2 ),半徑r=4.

<4,∴點(diǎn)F1在圓F2內(nèi),

又由已知得圓P的半徑R=|PF1|,由圓P與圓F2內(nèi)切得,圓P內(nèi)切于圓F2,即|PF2|=4﹣|PF1|,

∴|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,

故點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

有c= ,a=2,則b2=a2﹣c2=1.

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為


(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l:x=ny+1.

聯(lián)立 ,得(n2+4)y2+2ny﹣3=0.

△=16(n2+3)>0恒成立.

, .①

設(shè)直線DA、DB的斜率分別為k1,k2,則由∠ODA=∠ODB得,

=

= =

∴2ny1y2+(1﹣t)(y1+y2)=0,②

聯(lián)立①②,得n(t﹣4)=0.

故存在t=4滿足題意;

當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),直線為x軸,取A(﹣2,0),B(2,0),滿足∠ODA=∠ODB.

綜上,在x軸上存在一點(diǎn)D(4,0),使得x軸平分∠ADB.


【解析】(1)化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心坐標(biāo)和半徑,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合可得|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,故點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓, 由此求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l:x=ny+1.聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A,B的縱坐標(biāo)的和與積,結(jié)合斜率關(guān)系求得t值;當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),直線為x軸,取A(﹣2,0),B(2,0),滿足∠ODA=∠ODB.綜上,在x軸上存在一點(diǎn)D(4,0),使得x軸平分∠ADB.

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