Question

已知函數(shù)f（x）=，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得對任意x∈（0，1）∪（1，+∝），f（x）＞恒成立？若不存在，請說明理由，若在，求出a的值并加以證明．

Answer 1

解：（1）a=2時(shí)，f（x）=，
f′（x）=，f′（2）=，（2分）
又f（2）=0
所以切線方程為y=（x-2）（2分）
（2）1°當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，則?a＞x-lnx
令g（x）=x-lnx，g′（x）=，
再令h（x）=2-2lnx，h′（x）=
當(dāng)0＜x＜1時(shí)h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上遞減，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=＞0，
所以g（x）在（0，1）上遞增，g（x）＜g（1）=1，
所以a≥1（5分）
2°x＞1時(shí)，lnx＞0，則?a＜x-lnx?＜g（x）
由1°知當(dāng)x＞1時(shí)h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上遞增
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，g′（x））=＞0
所以g（x）在（1，+∞）上遞增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1；（5分）
由1°及2°得：a=1．（1分）
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義k=f′（2），切線方程y-f（2）=k（x-2）
（2）由f（x）恒成立?a（0＜x＜1），a，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最大值M，在區(qū)間（1，+∞）上的最小值m，則
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過曲線上一點(diǎn)的切線方程的求解，而恒成立的問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，若a≥f（x）恒成立?a≥f（x）_max，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）_min，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想在解題中的運(yùn)用．