Question

定長為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y²=x上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：先用A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)M，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為其橫坐標(biāo)建立距離模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等號(hào)的條件求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB長度為3，
那么x₁=y₁²，x₂=y₂²，（1）
3²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（y₂²-y₁²）²+（y₂-y₁）²=（y₂-y₁）²[（y₂+y₁）²+1]（2）
線段AB的中點(diǎn)M（x，y）到y(tǒng)軸的距離為
由（2）得x≥，并且當(dāng)（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+1=3（3）
時(shí)x取得最小值x=
下證x能達(dá)到最小值，根據(jù)題意不妨設(shè)y₁＞y₂，由（3）得
由此解得y₁，y₂，由（1）解得x₁，x₂，所以x可取得最小值．
相應(yīng)的M點(diǎn)縱坐標(biāo)
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為
點(diǎn)評：本題主要考查建模和解模的能力．