Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn+an=1，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b1+b2=b3=3．
（1）求Sn；
（2）求數(shù)列（anbn）的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+an=1，①

當(dāng)n=1時(shí)，有a1=S1，可得2a1=1，即a1= ；

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1+an﹣1=1，②

①﹣②可得Sn﹣Sn﹣1+an﹣an﹣1=0，

2an=an﹣1，可得{an}為首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，

即有an=（ ）n，n∈N*，

數(shù)列{bn}為公差為d的等差數(shù)列，且b1+b2=b3=3，

可得2b1+d=b1+2d=3，

解得b1=d=1，

則bn=1+n﹣1=n，n∈N*；

（2）解：anbn=n（ ）n，

前n項(xiàng)和Tn=1（ ）+2（ ）2+3（ ）3+…+（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+3（ ）4+…+（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

上面兩式相減可得， Tn=（ ）+（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1+（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化簡可得，Tn=2﹣（n+2）（ ）n．

【解析】1、利用Sn和an的關(guān)系可求出{an}為首項(xiàng)為 公比為 的等比數(shù)列，即得通項(xiàng)公式；再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得d=1，進(jìn)而得到bn。
2、利用等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，在Tn的式子兩邊同時(shí)乘以公比，相減可求出Tn。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．