Question

（文）（1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z•

.

z

=9，且（1+2i）z為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足|z₁|=|z₂|=1，且|z1+z2|=

2

，求|z₁-z₂|．

Answer 1

分析：（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義即可得出；
（2）利用復(fù)數(shù)模的計算公式和復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z•

.

z

=a2+b2=9．
∵（1+2i）z=a-2b+（2a+b）i為純虛數(shù)，∴a-2b=0，2a+b≠0．
聯(lián)立

a2+b2=9 a-2b=0 2a+b≠0

．
解得

a= 6 5 5 b= 3 5 5

或

a=- 6 5 5 b=- 3 5 5

．
∴z=

6 5

5

+

3 5

5

i或z=-

6 5

5

-

3 5

5

i．
（2）∵|z1+z2|=

2

，
∴|z1+z2|2=(z1+z2)•

.

(z1+z2)

=2，
∴2+z1

.

z2

+

.

z1

z2=2．得z1

.

z2

+

.

z1

z2=0．
∴|z1-z2|2=2-(z1

.

z2

+

.

z1

z2)=2．
又|z₁-z₂|＞0，故|z1-z2|=

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計算公式設(shè)解題的關(guān)鍵．