Question

已知三次函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²-6x+1（x∈R），a，b為實常數(shù)．
（1）若a=3，b=3時，求函數(shù)f（x）的極大、極小值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）+7，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x），g′（0）＞0，g（x）與x軸有且僅有一個公共點，求

g(1)

g′(0)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=3，b=3時，得到f(x)=x3+

3

2

x2-6x+1，求其導(dǎo)函數(shù)，列表得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得函數(shù)的極值；
（2）由函數(shù)g（x）求導(dǎo)，得到g'（0）=b，g（1）=a+b+1，再由g（x）與x軸有且僅有一個公共點，得到b²-4a=0，利用基本不等式，即可得到

g(1)

g′(0)

的最小值．

解答：解：（1）f(x)=x3+

3

2

x2-6x+1，∴f'（x）=3x²+3x-6=3（x-1）（x+2），
令f'（x）=0，∴x₁=-2，x₂=1，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

f_極大值=f（-2）=11，f極小值=f(1)=-

5

2

．
（2）由于g（x）=ax²+bx-6+7=ax²+bx+1（a≠0），
則g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）與x軸有且僅有一個公共點，則b²-4a=0，
則

g(1)

g′(0)

=

a+b+1

b

=

a+1

b

+1=

b2 4 +1

b

+1=

b

4

+

1

b

+1≥2

b 4 1 b

+1=2，
（當(dāng)且僅當(dāng)

b

4

=

1

b

，即b=2時，等號成立）
則(

g(1)

g′(0)

)min=2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，以及利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．