已知三次函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2-6x+1(x∈R),a,b為實(shí)常數(shù).
(1)若a=3,b=3時(shí),求函數(shù)f(x)的極大、極小值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)+7,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x),g′(0)>0,g(x)與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求
g(1)
g′(0)
的最小值.
分析:(1)當(dāng)a=3,b=3時(shí),得到f(x)=x3+
3
2
x2-6x+1
,求其導(dǎo)函數(shù),列表得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而可得函數(shù)的極值;
(2)由函數(shù)g(x)求導(dǎo),得到g'(0)=b,g(1)=a+b+1,再由g(x)與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),得到b2-4a=0,利用基本不等式,即可得到
g(1)
g′(0)
的最小值.
解答:解:(1)f(x)=x3+
3
2
x2-6x+1
,∴f'(x)=3x2+3x-6=3(x-1)(x+2),
令f'(x)=0,∴x1=-2,x2=1,
x (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
f極大值=f(-2)=11,f極小值=f(1)=-
5
2

(2)由于g(x)=ax2+bx-6+7=ax2+bx+1(a≠0),
則g'(x)=2ax+b,g'(0)=b>0,
又由g(x)與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則b2-4a=0,
g(1)
g′(0)
=
a+b+1
b
=
a+1
b
+1=
b2
4
+1
b
+1=
b
4
+
1
b
+1≥2
b
4
1
b
+1=2
,
(當(dāng)且僅當(dāng)
b
4
=
1
b
,即b=2時(shí),等號(hào)成立)
(
g(1)
g′(0)
)min=2
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,以及利用基本不等式求最值問(wèn)題,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(-1,2)且在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+2=0,求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若對(duì)于區(qū)間[-3,2]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求實(shí)數(shù)t的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)-1≤x≤1時(shí),|f′(x)|≤1,試求a的最大值,并求a取得最大值時(shí)f(x)的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

19、已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值,且f(-2)=-4.
(I)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(II)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅲ)若函數(shù)g(x)=f(x-m)+4m(m>0)在區(qū)間[m-3,n]上的值域?yàn)閇-4,16],試求m、n應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a,b,c,d∈R),命題p:y=f(x)是R上的單調(diào)函數(shù);命題q:y=f(x)的圖象與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn).則p是q的( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值,且f(-2)=-4.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; 
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)求函數(shù)在區(qū)間[-2,5]的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則
f′(-3)f′(1)
=
 

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