Question

邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，D，E，M分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至A′DE位置，使A′M=

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2

，設(shè)MC的中點(diǎn)為Q，A′B的中點(diǎn)為P，則
①A′N⊥平面BCED    
②NQ∥平面A′EC
③DE⊥平面A′MN
④平面PMN∥平面A′EC
以上結(jié)論正確的是（　　）

• A、①②④
• B、②③④
• C、①②③
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由等邊三角形的性質(zhì)可得A′N=AN=MN=

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2

，可得A′N2+MN2=(

3

2

)2×2=A′M²．可得A′N⊥MN，又A′N⊥DE，利用線面垂直的判定定理即可得出．
②由于NQ∥AC，利用線面平行的判定定理可得NQ∥平面A′EC；
③由①可得A′N⊥平面BCED，A′N⊥DE，又DE⊥MN，利用線面垂直的判定定理即可得出；
④由于MN∩平面A′EC=A，因此平面PMN∥平面A′EC不正確．

解答： 解：如圖所示，
①由等邊三角形的性質(zhì)可得A′N=AN=MN=

3

2

，∴A′N2+MN2=(

3

2

)2×2=A′M²．∴A′N⊥MN，
又A′N⊥DE，ED∩MN=N，∴A′N⊥平面BCED，正確．
②∵NQ∥AC，NQ?平面A′EC，AC?平面A′EC，∴NQ∥平面A′EC，正確；
③由①可得A′N⊥平面BCED，∴A′N⊥DE，又DE⊥MN，MN∩A′N=N，∴DE⊥平面A′MN，正確；
④∵M(jìn)N∩平面A′EC=A，∴平面PMN∥平面A′EC不正確．
綜上可得：只有①②③正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面面面平行與垂直的判定性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、勾股定理的逆定理，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．