Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分別為AD，PC的中點，PO=AD=2BC=2CD．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)BD∩OC=F，連接EF，由已知條件推導(dǎo)出EF∥PO，平面ABCD⊥平面PAD，PO⊥平面ABCD，從而得到EF⊥平面ABCD，進而得到AB⊥EF，再由AB⊥BD，能證明AB⊥平面BED，由此得到AB⊥DE．
（Ⅱ）在平面ABCD內(nèi)過點A作AH⊥CO交CO的延長線于H，連接HE，AE，由已知條件推導(dǎo)出∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．由此能求出二面角A-PC-O的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)BD∩OC=F，連接EF，
∵E、F分別是PC、OC的中點，則EF∥PO，…（1分）
∵CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
又PA=PD，O為AD的中點，則PO⊥AD，
∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
又AB?平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）
在△ABD中，AB²+BD²=AD²，AB⊥BD，
又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，
又DE?平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）
（Ⅱ）解：在平面ABCD內(nèi)過點A作AH⊥CO交CO的延長線于H，
連接HE，AE，
∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，
平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，
PC?平面POC，∴AH⊥PC．
在△APC中，AP=AC，E是PC中點，∴AE⊥PC，
∴PC⊥平面AHE，則PC⊥HE．
∴∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．…（10分）
設(shè)PO=AD=2BC=2CD=2，
而AE²=AC²-EC²，
AE=

14

2

，AH=

2

2

，則sin∠AEH=

7

7

，
∴二面角A-PC-O的余弦值為

42

7

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．