若f(x)為R上的奇函數(shù),且滿足f(x-2)=-f(x),對于下列命題:
①f(2)=0;
②f(x)是以4為周期的周期函數(shù);
③f(x)的圖象關于x=0對稱;
④f(x+2)=f(-x).
其中正確命題的序號為________.

解:由f(x)為R上的奇函數(shù)可得f(0)=0,在f(x-2)=-f(x)中令x=2可得f(0)=-f(2),
故f(2)=0,故①正確.
∵f(x)為R上的奇函數(shù),且滿足f(x-2)=-f(x),
令x-2=t,則x=t+2,f(t)=-f(t+2),∴f(t)=f(t+4),
故f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故②正確.
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,函數(shù)圖象關于點(0,0)對稱,故③不正確.
在f(x-2)=-f(x)中,把x換成x+2可得f(x)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
再由f(x)為R上的奇函數(shù)可得f(x+2)=f(-x),故④正確.
故答案為①②④.
分析:由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0,在f(x-2)=-f(x)中令x=2可得f(0)=-f(2),故①正確.
令x-2=t,則x=t+2,代入條件可得f(t)=-f(t+2),故f(t)=f(t+4),故②正確.
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,函數(shù)圖象關于點(0,0)對稱,故③不正確.
在f(x-2)=-f(x)中,把x換成x+2化簡可得④正確.
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應用,準確理解函數(shù)的奇偶性和周期性,是解題的關鍵,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),當x<0時,f(x)=x2+2x-1
(1)若f(x)為R上的奇函數(shù),則函數(shù)在R上的解析式為?
(2)若f(x)為R上的偶函數(shù),則函數(shù)在R上的解析式為?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),當x<0時,f(x)=x2+2x-1,若f(x)為R上的奇函數(shù),則函數(shù)在R上的解析式為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若f(x)為R上的奇函數(shù),給出下列結(jié)論:
①f(x)+f(-x)=0;
②f(x)-f(-x)=2f(x);
③f(x)•f(-x)≤0;
f(x)
f(-x)
=-1.
其中不正確的結(jié)論有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題中:
①“若x+y=0,則x2+y2=0”的逆命題
②若f(x)為R上的奇函數(shù),x>0時f(x)=2x+1,則x<0時,f(x)=-2x+1
③若f(x)=x,x∈[1,4],則函數(shù)y=f(x)+2f(x2)的最大值是36.其中正確的命題是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)m(x)=log2(4x+1),n(x)=kx(k∈R).
(1)當x>0時,F(xiàn)(x)=m(x).若F(x)為R上的奇函數(shù),求x<0時F(x)的表達式;
(2)若f(x)=m(x)+n(x)是偶函數(shù),求k的值;
(3)對(2)中的函數(shù)f(x),設函數(shù)g(x)=log2(a?2x-
43
a),其中a>0.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求a的取值范圍.

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