Question

已知函數(shù)m（x）=log₂（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=m（x）．若F（x）為R上的奇函數(shù)，求x＜0時(shí)F（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函數(shù)，求k的值；
（3）對(duì)（2）中的函數(shù)f（x），設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a），其中a＞0．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)F（x）=-F（-x）即可得出；
（2）利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x）即可得出k．
（3）由于a＞0，可得g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a）定義域?yàn)椋╨og₂

4

3

，+∞），也就是滿足2^x＞

4

3

．由于函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．可知：方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a?2^x-

4

3

a）在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，即方程

4x+1

2x

=a?2^x-

4

3

a在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解．通過(guò)換元：
令2^x=t，則t＞

4

3

，因而等價(jià)于關(guān)于t的方程（a-1）t²-

4

3

at-1=0     （*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．再通過(guò)分類(lèi)討論即可得出．

解答：解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵F（x）為R上的奇函數(shù)，
∴F（x）=-F（-x）=-log₂（4^-x+1），
∴x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=-log₂（4^-x+1）； 
（2）∵f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）對(duì)任意x∈R恒成立，
即log₂（4^-x+1）-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
∴-2x-2kx=0恒成立，
∴k=-1．                  
（3）∵a＞0，∴g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a）定義域?yàn)椋╨og₂

4

3

，+∞），
也就是滿足2^x＞

4

3

．
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a?2^x-

4

3

a）在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，
即方程

4x+1

2x

=a?2^x-

4

3

a在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解．  
令2^x=t，則t＞

4

3

，因而等價(jià)于關(guān)于t的方程
（a-1）t²-

4

3

at-1=0     （*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．
①當(dāng)a=1時(shí)，解得t=-

3

4

∉（

4

3

，+∞），不合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，記h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸t=

2a

3(a-1)

＜0．
∴函數(shù)h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1，
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）無(wú)解．
③當(dāng)a＞1時(shí)，記h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸t=

2a

3(a-1)

＞0，
∴只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此式恒成立．
綜上所述，所求a的取值范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互化、換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力和推理能力，屬于難題．