Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD的中點，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，現(xiàn)沿EF把四邊形CDFE折起如圖乙，使平面CDFE⊥平面ABEF．
（Ⅰ）求證：AD∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AB⊥平面BCE；
（Ⅲ）求三棱錐C-ADE的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知可易AF∥BE，DF∥CE，結合線面平行的判定定理，我們易得AF∥面BCE，DF∥面BCE，再由面面平行的判定定理，可得面ADF∥面BCE，最后根據(jù)面面平行的性質得到AD∥平面BCE；
（Ⅱ）由已知中EF∥AB，AB⊥AD，得EF⊥AD，又由CE⊥EF，結合（1）中結論，及面面垂直的性質，我們易判斷出CE⊥平面ABFE，再由線面垂直的性質得到CE⊥AB，再由AB⊥BE，即可得到AB⊥平面BCE；
（Ⅲ）由（2）中結論，我們易判斷AF為三棱錐A-CDE的高，求出AF的長，及底面三角形CDE的面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）由題意知AF∥BE，∴AF∥面BCE，同理，∵DF∥CE，
∴DF∥面BCE．AF∩DF=F，AF?面ADF，DF?面ADF，∴面ADF∥面BCE．
∵AD?面ADF，∴AD∥面BCE．（4分）
（Ⅱ）在圖甲中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，∴在圖乙中CE⊥EF．
∵平面CDEF⊥平面ABFE，平面CDEF∩平面ABFE=EF∴CE⊥平面ABFE，
∴CE⊥AB，又AB⊥BE，∴AB⊥平面BCE．（8分）
（Ⅲ）∵平面CDEF⊥平面ABFE，AF⊥EF，∴AF⊥平面CDEF，（10分）
AF為三棱錐A-CDE的高，且AF=1，又AB=CE=2，
∴S△CDE=

1

2

×2×2=2，∴VC-ADE=VA-CDE=

1

3

×2×1=

2

3

．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平等的判斷，棱錐的體積及直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面的位置關系的判定、性質及定義，建立良好的空間想像能力是解答立體幾何問題的關鍵．